Без кейворда

Ostatnim razem rozmawialiśmy o niezależności pary wyników, ale możemy spokojnie mówić o niezależności dłuższej sekwencji wyników. Załóżmy na przykład, że mamy trzy monety. Załóżmy:

  • Pierwsza moneta ma prawdopodobieństwo \( p_H\) wylądowania resztkami do góry i \( p_T\) wylądowania reszkami do góry;
  • Druga moneta ma prawdopodobieństwo \(q_H\) wylądowania resztkami do góry i \(q_T\) wylądowania reszkami do góry;
  • Trzecia moneta ma prawdopodobieństwo \(r_H\) wylądowania resztkami do góry i \(r_T\) wylądowania reszkami do góry.

Załóżmy, że odwracamy wszystkie te monety: pierwszą, potem drugą i trzecią. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy następującą sekwencję wyników:

Jeśli rzuty monetą są niezależne, prawdopodobieństwo to tylko ten iloczyn:

Widzisz wzór? Po prostu mnożymy prawdopodobieństwa. I nie ma nic szczególnego w monetach ani liczbie trzy. Moglibyśmy rzucić monetą, rzucić kostką, wybrać kartę i sprawdzić, czy na zewnątrz pada.

Na przykład, jakie jest prawdopodobieństwo, że dostaniemy orła z naszą monetą, cyfrą 6 na naszej kości, asem pik z naszymi kartami i pada deszcz? Jeśli te wyniki są niezależne, po prostu obliczamy:

Prawdopodobieństwo wypadnięcia orła razy prawdopodobieństwo wyrzucenia 6, razy prawdopodobieństwo, że dostaniemy asa pik, razy prawdopodobieństwo, że na zewnątrz pada deszcz.

Rozwiążmy kilka zagadek, korzystając z tego pomysłu!

Trzy rzuty uczciwą monetą

Przykład 1. Załóżmy, że masz monetę uczciwą: oznacza to, że ma ona 50% szans na wylądowanie rewersem do góry i 50% szans na wylądowanie rewersem do góry. Załóżmy, że przerzucasz go trzy razy i te przewroty są niezależne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyląduje heads up, a tail up, a następnie heads up?

Pytamy o prawdopodobieństwo takiego wyniku:

Ponieważ klapki są niezależne, jest to

Więc odpowiedź to 1/8, czyli 12,5%.

Przykład 2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w tej samej sytuacji moneta wypadnie heads-up dokładnie dwa razy?

Istnieją 2 × 2 × 2 = 8 wyników, które mogą się wydarzyć:

Możemy obliczyć prawdopodobieństwo każdego z tych wyników. Na przykład widzieliśmy już, że \( (H,T,H)\) to

ponieważ moneta jest uczciwa, a rzuty niezależne. W rzeczywistości wszystkie 8 prawdopodobieństw działa w ten sam sposób. Zawsze dostajemy 1/8. Innymi słowy, każdy z 8 wyników jest równie prawdopodobny!

Ale interesuje nas prawdopodobieństwo, że trafimy dokładnie dwie głowy. Takie jest prawdopodobieństwo tego podzbioru:

Korzystając z reguły, którą widzieliśmy w części 7, prawdopodobieństwo to wynosi

Więc odpowiedź to 3/8, czyli 37,5%.

Mogłem to zrobić znacznie szybciej. Mógłbym powiedzieć „jest 8 wyników, które mogą się wydarzyć, każdy jest równie prawdopodobny, a trzy dają nam dwie głowy, więc prawdopodobieństwo wynosi 3/8”. Ale chciałem pokazać, jak postępujemy zgodnie z zasadami, które już widzieliśmy!

Trzy rzuty bardzo nieuczciwą monetą

Przykład 3. Załóżmy teraz, że mamy nieuczciwą monetę z 90% szansą na wylądowanie orzełkiem w górę i 10% szansą na wylądowanie tailem w górę! Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli obrócimy go trzy razy, wypadnie heads-up dokładnie dwa razy? Ponownie załóżmy, że rzuty monetą są niezależne.

Większość obliczeń działa dokładnie w ten sam sposób, ale teraz nasza moneta ma

Interesują nas wyniki, w których moneta wypada dwa razy rewersem, więc przyjrzyjmy się temu podzbiorowi:

Prawdopodobieństwo tego podzbioru wynosi

Więc teraz prawdopodobieństwo wynosi tylko 24,3%.

Sześć rzutów uczciwą monetą

Przykład 4. Załóżmy, że masz uczciwą monetę. Załóżmy, że przerzucasz to sześć razy i te przewroty są niezależne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafi on heads-up dokładnie dwa razy?

Zrobiliśmy już podobny problem, rzucając monetą trzy razy. Wróć i spójrz na to, jeśli zapomnisz! Odpowiedzią na ten problem był

Dlaczego? Oto dlaczego: były 3 sposoby na zdobycie dwóch orłów, gdy obróciłeś 3 monety, a każdy z tych wyników miał prawdopodobieństwo

W ten sam sposób możemy rozwiązać nasz nowy problem. Policz, na ile sposobów można zdobyć dwie głowy, gdy rzucimy sześć monet. Następnie pomnóż to przez

Trudno jest policzyć, na ile sposobów możemy zdobyć dwie głowy, gdy rzucimy sześcioma monetami. Aby być dobrym w prawdopodobieństwie, musimy być dobrzy w liczeniu. Nudne jest wymienianie wszystkich wyników, które próbujemy policzyć:

Spróbujmy więc wymyślić lepszy pomysł.

Musimy wybrać 2 z naszych 6 przewrotów na H. Na ile sposobów można to zrobić?

Istnieje 6 sposobów, aby wybrać jeden z flipów i narysować na nim czerwone H, a następnie pozostało 5 sposobów, aby wybrać inny i narysować niebieskie H na to.niech reszta będzie T. Na przykład:

Więc mamy 6 × 5 = 30 wyborów. Ale tak naprawdę nie obchodzi nas, które H jest czerwone, a które H jest niebieskie — to tylko sztuczka, która pomoże nam rozwiązać problem. Na przykład nie chcemy liczyć

jak różni się od

Więc tak naprawdę nie ma 30 sposobów na zdobycie dwóch głów. Jest ich tylko o połowę mniej! Jest 15 sposobów.

Tak więc prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch orłów, gdy rzucimy monetą sześć razy, wynosi

gdzie zawijas oznacza „w przybliżeniu”. A więc: około 23,4%.

Współczynniki dwumianowe

Teraz zajmę się żargonem, który pomoże, gdy mamy do czynienia z trudniejszymi problemami, takimi jak ten. Mówimy, że jest 6 wybierz 2 sposobów wyboru 2 z 6 rzeczy i piszemy to jako

Ten rodzaj liczby nazywa się współczynnikiem dwumianowym.

Właśnie to pokazaliśmy

Po co pisać w ten sposób: \( \frac<6 \times 5><2 \times 1>\)? Ponieważ pomoże nam to dostrzec schemat rozwiązywania trudniejszych problemów, takich jak ten!

Dziewięć rzutów uczciwą monetą

Jeśli rzucimy uczciwą monetą 9 razy, a rzuty są niezależne, jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadniemy orła dokładnie 6 razy?

Działa to tak jak w poprzednim problemie, tylko liczby są większe. Więc zrobię to szybciej!

Kiedy rzucimy monetą 9 razy, możliwe są \( 2^9\) wyniki, które mogą się wydarzyć. Każdy z nich jest równie prawdopodobny, jeśli jest to uczciwa moneta, a rzuty są niezależne. Więc każdy ma prawdopodobieństwo

Aby uzyskać odpowiedź, musimy pomnożyć to przez liczbę sposobów, w jakie możemy trafić orłami dokładnie 6 razy. Ten numer nazywa się „9 wybierz 6” lub

w skrócie. Jest to liczba sposobów, na jakie możemy wybrać 6 rzeczy z kolekcji 9.

Więc musimy tylko wiedzieć: czym jest 9 wybierz 6? Możemy to wypracować jak poprzednio. Jest 9 sposobów na wybranie jednego odwracania i narysowanie na nim czerwonego H, następnie pozostało 8 sposobów, aby wybrać inny i narysować na nim niebieskie H, i 7 sposobów w lewo, aby wybrać trzeci i narysować na nim pomarańczowe H. To brzmi jak 9 × 8 i razy; 7.

Ale przeliczyliśmy! W końcu nie dbamy o kolory. Nie obchodzi nas różnica między tym:

W rzeczywistości policzyliśmy każdą możliwość 6 razy! Dlaczego sześć? Pierwsze H może być czerwone, zielone lub niebieskie — to 3 opcje. Ale wtedy drugie H może być jednym z dwóch pozostałych dwóch kolorów. a dla trzeciego mamy tylko 1 wybór. Więc jest cs go 3 × 2 × 1 = 6 sposobów permutacji kolorów.

Tak więc rzeczywista liczba sposobów na uzyskanie 6 orłów z 9 rzutów monetą to

Aby uzyskać odpowiedź na nasz aktualny problem, pamiętaj, że musimy pomnożyć \( 1/2^9\) przez to. Więc odpowiedź brzmi

Jeśli jesteś czystym matematykiem, możesz powiedzieć, że to już koniec. Ale normalni ludzie nie zrozumieją tej odpowiedzi, więc policzmy to. Mam nadzieję, że znasz pierwsze dziesięć potęg dwóch: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. A więc:

Mam nadzieję, że umiesz również wykonywać podstawowe operacje arytmetyczne:

Tak więc prawdopodobieństwo uzyskania 6 orłów po wykonaniu 9 niezależnych rzutów uczciwą monetą wynosi

lub 16,4025%. Zepsułem się i na ostatnim kroku użyłem kalkulatora. Stajemy się tutaj poważnymi frajerami.

OK, na razie wystarczy. Liczyliśmy, na ile sposobów możemy uzyskać określoną liczbę orłów z określonej liczby rzutów monetą. Tak naprawdę bierzemy zestaw rzutów monetą, powiedzmy \(n\) z nich, i wybieramy podzbiór \(k\) z nich jako orłów. Więc mówimy

o nazwie \( n\) wybierz \( k,\) to liczba sposobów wyboru podzbioru \( k\) rzeczy ze zbioru \( n\) rzeczy.

Widzieliśmy w kilku przykładach, które

Tutaj jest iloczyn \( k\) kolejnych liczb na górze i \( k\) również na dole. Ogólnie nie udowodniliśmy, że to prawda, ale nie jest to trudne do zauważenia, używając sztuczek, których już używaliśmy.

Możesz także czytać komentarze na temat Azymutu i tworzyć tam własne komentarze lub zadawać pytania!

Najlepsze automaty
5000 bonusu powitalnego
Bonus do 10 000 rubli
Wysokie kursy plus darmowe spiny
Wysokie kursy plus darmowe spiny